Hangi sayının asal olup olmadığı bizim için birçok açıdan önemlidir. Bazen sorularda karşımıza da doğrudan çıkar. Asal olup olmadığı en çok karıştırılan sayılardan biri de 41’dir. Bu yazıda 41 asal mı değil mi ona değineceğiz. 41 asal sayı mıdır yoksa değil midir anlamak için temel bir yöntem bulunuyor. Bu yöntemi öğrenmeliyiz.

Sadece kendisine ve 1’e tam bölünebilen doğal sayılara asal sayı denir. 41 de sadece 1’e ve 41’e tam bölünür. Bu nedenle 41 asal bir sayıdır.

Bir sayının asal olabilmesi için pozitif tam sayı yani doğal sayı olması da şarttır. Ayrıca 1 ve kendisine tam bölünmesi 2 ayrı çarpanı olması demektir. Mesela 1 asal sayı değildir çünkü 1 tane pozitif tam böleni vardır. 41 = 1.41 olduğundan 2 farklı çarpandan bahsedebiliriz.

2 Basamaklı Asal Sayılar Listesi

Bütün asal sayıları ezberleyemeyiz. Bu nedenle bir sayının asal olup olmadığına yukarıdaki mantıkla karar veririz. Ancak pratik bilgi olması açısından iki basamaklı asalları vereceğiz. Tek basamaklı asal sayıların 2, 3, 5 ve 7 olduğunu zaten biliyoruz.

İki basamaklı asal sayı listesi şöyle sıralanır:

• 11
• 13
• 17
• 19
• 23
• 29
• 31
• 37
• 41
• 43
• 47
• 53
• 59
• 61
• 67
• 71
• 73
• 79
• 83
• 89
• 97

21 tane iki basamaklı asal sayı bulunur. Yukarıdaki listede hepsini verdik. 41’in de bu listede olduğuna dikkat ediniz. İlgili yazı: 91 asal sayı mıdır?

Asal sayılar, doğal sayılar kümesi içerisinde yer aldıkları için bir başlangıç noktaları vardır. Bu açıdan en küçük asal sayıdan söz etmek mümkündür. Ancak en büyük asal sayıdan bahsetmek zordur. Bu yazıda en küçük asal sayı kaçtır sorusuna kısaca yanıt vereceğiz.

En küçük asal sayı 2’dir. Bu aynı zamanda asal olan tek çift sayıdır. 2 dışında hem asal olup hem çift olan başka bir sayı yoktur.

1 asal sayı mıdır diye çok soruluyor. 1 asal sayı değildir. Bir sayının asal olabilmesi için 1 ve kendisine tam bölünmesi gerekir. Bu durumda asal sayının şartı 2 tane sayıya tam bölünmektedir. Ancak 1 sadece 1’e tam bölünür.

2’den sonraki bütün asal sayılar tek sayıdır. Bu nedenle aralarında en az 2 fark bulunmaktadır. Ancak 2’den sonraki asal sayı 3 olduğu için ardışık asal sayılar sadece 2 ve 3’tür diyebiliriz.

Konuyla İlgili Sorular

En küçük asal sayıyı öğrendik. Şimdi konuyla alakalı ve matematik bilgimizi arttıracak bazı sorulara yanıt verelim.

En küçük tek asal sayı kaçtır?

2 çift olduğu için ondan hemen sonraki sayıyı alırız. 3 en küçük tek asal sayıdır.

İki asal sayının toplamı tek sayıysa bu asal sayılardan küçük olanı kaçtır?

Asal sayılar tek oldukları için normalde iki asal sayının toplamının çift olması beklenir. Toplamın tek olması için sayılardan birinin çift olması gerekir. Bu sayıda mecburen 2 olacaktır. Çünkü asal olan çift sayı yalnızca 2’dir. Bu sayı aynı zamanda en küçük asal olduğu için cevap 2 olacaktır.

2 basamaklı en küçük asal sayı kaçtır?

11’dir. Daha sonra 13, 17, 19 şeklinde devam eder.

Hem çift hem de asal olan sayı kaç tanedir?

Bir tanedir o da 2’dir. 2’den başka çift asal yoktur.

50’den büyük en küçük asal sayı kaçtır?

53’tür. Burada 51 ile karıştıranlar oluyor. 51 3’ün katı olduğu için asal sayı değildir.

70’ten büyük en küçük asal sayı kaçtır?

71’dir. Daha sonra 73, 79 şeklinde devam eder.

İki asal sayının farkı 1 ise toplamları kaçtır?

İki sayının farkının 1 olması için bu sayıların ardışık olması gerekir. Ardışık asal sayılar 2 ve 3’tür. Bunun dışında ardışık asal sayı yoktur. Bu nedenle toplamları 2 + 3 = 5 olur.

Asal sayıları tanımak ve bilmek temel matematik için çok önemlidir. Sayı sınıflarını ve bunların özelliklerini iyi kavramadan matematiğin öğrenilmesi zordur.

Bir sayının 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni yoksa bu sayıya biz asal sayı diyoruz. Asal sayılar matematikte çok önemli bir sayı kümesidir. Bu yazıda iki basamaklı asal sayılar üzerinde duracağız. 2 basamaklı asal sayılar denince 10 ile 100 arasındaki asal sayılar kast edilmektedir.

İki basamaklı asal sayılar şöyle sıralanır:

• 11
• 13
• 17
• 19
• 23
• 29
• 31
• 37
• 41
• 43
• 47
• 53
• 59
• 61
• 67
• 71
• 73
• 79
• 83
• 89
• 97

İki basamaklı asal sayılar 21 tanedir. 100’e kadar asal sayılar sorulduğunda bunlara tek basamaklı asal sayılar da ekleriz. 1 basamaklı asal sayılar 2, 3, 5 ve 7’dir. Öyleyse 100’e kadar asal sayılar da 25 tanedir.

İlgili yazı: 91 asal sayı mıdır?

2 Basamaklı Asal Sayılar ile İlgili Sorular

İki basamaklı asal sayılar kaç tanedir öğrendik. 100’den büyük asal sayılar artık ve 3 basamaklı oldukları için bunları gruba dahil etmiyoruz. Şimdi konuyla ilgili sık sorulan sorulara cevap verelim.

2 basamaklı en küçük asal sayı kaçtır?

Yukarıdaki listeden görebileceğiniz üzere 11’dir. Eğer rakamları farklı en küçük 2 basamaklı asal sayı diye sorsaydı o zaman 11’i alamayacağımız için 13 derdik.

2 basamaklı en büyük asal sayı kaçtır?

İki basamaklı en büyük asal sayı 97’dir.

İki basamaklı en büyük asal sayı ile en küçük asal sayı arasındaki fark kaçtır?

Yukarıdaki 2 sorudan bu cevabı çıkarabiliriz. 97 – 11 = 86 bulunur. Toplamı sorulduğunda da 97 + 11 = 108 bulunur.

3 basamaklı en küçük asal sayı kaçtır?

Burada 97’den sonraki asal sayı sorulmuştur. Üç basamaklı en küçük asal sayı 101’dir.

İki basamaklı asal sayıların toplamı kaçtır?

Bunun için yukarıda verdiğimiz listedeki asal sayıların tamamını toplamak gerekir. Bu toplamayı yaparsak 1043 elde edilir.

İki basamaklı asal sayılar çift sayı mıdır?

Hayır. Yukarıda sıraladığımız sayıların tamamı tektir. Çift olup asal olan bir tane sayı vardır o da 2’dir. 2 de tek basamaklı bir sayıdır zaten.

Sorularda size iki basamaklı yerine çift basamaklı diye verebilirler. Bir sayının çift basamaklı olması çift olduğu anlamına gelmez. Örneğin 17 iki yani çift basamaklıdır. Ancak sayı olarak tek sayıdır.

İki basamaklı asal sayıların çarpımı çift olabilir mi?

Tek sayılarla tek sayıların çarpımı her zaman tek sayıdır. 2 basamaklı asal sayılar da tek sayı olduğuna göre bu sayıları çarpımı da tek olacaktır.

Ancak iki basamaklı diye şart koşmazsa bu mümkündür. Çünkü o zaman çift sayı olan 2’yi kullanabilir. 2.5 = 10 eder. İkisi de asal olmasına rağmen sonuç çift çıktı.

Asal Sayılar Neden Önemlidir?

Asal sayıların bizim için önemli olmasının birçok nedeni vardır. Bir kere bu sayıların başka 1 ve kendileri dışında başka pozitif bölenlerinin olmaması onları özel yapar. Yani asal sayılar daha küçük parçalara bölünmemektedir.

Bütün diğer pozitif tam sayılar asal sayılardan oluşmaktadır. Yani asal sayıları sayıları oluşturan birimler olarak da düşünülebiliriz.

Örneğin 21 sayısı 3.7 şeklindedir. 100 sayısı 2.2.5.5 şeklindedir. 30 = 2.3.5 şeklindedir. Bütün sayılar bu şekilde asal sayıların belirli sayılarda birbiriyle çarpılmasıyla elde edilmektedir.

İki basamaklı asal çarpan sayısı en fazla olan sayılar birkaç tanedir. Bu sayılardan en küçüğü 30’dur. Üç tane farklı asal çarpanı vardır. 42 sayısı da böyle bir sayıdır. 42 = 2.3.7 şeklindedir.

2 basamaklı asal sayılar nelerdir öğrendik. Asal sayılar ve diğer sayı gruplarıyla ilgili bilgileri oturtmak için bol miktarda örnek çözmek gerekir.

]]> https://tercihrehberin.com/iki-basamakli-asal-sayilar/feed/ 0 https://tercihrehberin.com/aralarinda-asal-ne-demek/ https://tercihrehberin.com/aralarinda-asal-ne-demek/#respond Mon, 14 Dec 2020 05:30:20 +0000 https://tercihrehberin.com/?p=4341 Asal sayılar matematiğin en temel konularından biridir. Bu nedenle ortaokul ve lise seviyesindeki öğrenciler eğer asal sayı nedir bilmiyorsa mutlaka öğrenmesi gerekir. Asal sayılarla ilgili en çok karşımıza çıkan kavramlarından biri de aralarında asal sayılardır. Bu yazıda aralarında asal ne demek net bir şekilde açıklayacak ve örnekler yapacağız.

1’den başta ortak pozitif böleni olmayan sayılarına aralarında asal sayılar denir. İki sayının tek ortak böleni 1 ise bu sayılar aralarında asal demektir.

Örnekler üzerinden daha iyi anlayacağız. Öncelikle bir sayının asal sayı olması ile iki sayının aralarında olması aynı şeyler değildir. Bir sayının asal olması kendisiyle ilgili iken aralarında asal kavramı iki ve daha fazla sayı için geçerlidir.

İki sayı asal sayıyla kesinlikle aralarında da asaldır. Ancak aralarında asal sayılar ille asal olmak zorunda değildir.

Konuyu iyi anlamak için aşağıdaki örneklere mutlaka bakın. Eğer asal sayılarla ilgili temel bilginiz yoksa asal sayılar konu anlatımı kısmından çalışabilirsiniz.

Aralarında Asal Sayılara Örnekler

İki sayı aralarında asalsa üç durum söz konusu olabilir.

1. İki sayı da asal sayı ise zaten aralarında da asal sayılardır.
2. Sayılardan biri asal biri asal olmayan olabilir.
3. İki sayı da asal sayı olmayabilir.

Asal sayılar 1 ve kendisi dışında pozitif böleni olmayan sayılardır. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 gibi sayılar asa sayılardır.

Aralarında asal sayılara örnekler şöyle verilebilir:

• 3 ile 5 aralarında asaldır. Çünkü bu sayıların her ikisi de zaten asal sayıdır. Ortak pozitif bölenleri ise yalnızca 1’dir.
• 3 ile 4 aralarında asaldır. 4’ün asal sayı olmaması buna engel değildir. 3 ve 4’ün ortak pozitif böleni 1’dir.
• 8 ile 15 aralarında asaldır. Bu sayıların her ikisi de tek başına asal değilken birbirlerine göre aralarında asaldır. Çünkü tek ortak pozitif bölenleri 1’dir.
• 99 ile 100 aralarında asaldır. Çünkü yine 1’den başka ortak bölenleri yoktur.
• 4, 5 ve 9 sayılarının üçü de aralarında asaldır. Çünkü pozitif ortak bölenleri 1’dir.

Eğer 1’den başka pozitif ortak bölen çıkarsa bu sayılar aralarında asal olmaktan çıkar. 2 çift sayının ortak böleni en azından 2 olacağı için sayıların ikisi de çiftse bu sayılar aralarında asal olamaz.

Aralarında asal sayıların EBOB’u 1 olmak zorundadır. Çünkü 1’den başka bu sayıları ortak olarak bölen pozitif sayı yoktur. EBOB 1 değilse o zaman bu sayılar aralarında asal da değildir.

1 ile Aralarında Asal Sayılar

1’in asal sayı olmadığını biliyoruz. Ancak her sayı 1 ile aralarında asaldır. Çünkü tanıma uymaktadır. Tanım bize ne diyor? Sayılar arasında 1’den başka ortak pozitif bölen olmamalıdır. 1 ile herhangi başka bir pozitif sayı arasındaki durum da aynen böyledir.

1 ile 2, 1 ile 5, 1 ile 8, 1 ile 20 hepsi aralarında asal olarak düşünülebilir.

Diğer çok sorulan sorulardan biri de 1 ile 1 aralarında asal mıdır sorusudur. 1 ile 1’in pozitif ortak böleni sadece 1’dir. Tanıma uyduğu için evet 1 ile 1 aralarında asaldır diyebiliriz.

1 dışında diğer sayılar için bu durum geçerli değildir. Örneğin 4 ile 4 aralarında asal değildir. Çünkü ortak pozitif bölenleri 1 ve 4’tür.

Aralarında asal olma durumu sadece bütün sayılar pozitif olduğunda geçerli bir durumdur. Negatif sayılarda aralarında asal olma durumu aranmaz. Daha doğrusu bu konu genellikle müfredatınızın konusu değildir diyelim.

Aralarında Asal Soruları

Aralarında asal nedir ve ne demektir öğrendik. Yukarıdaki örneklere bakarak kendiniz de örnekleri çoğaltabilirsiniz. Ancak konuyu iyi öğrenmek için mutlaka basit de olsa birkaç örnek soru çözmek gerekecektir.

İki basamaklı 26 sayısı ile 3a sayısının aralarında asal olduğu bilinmektedir. Buna göre a aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 1

B) 3

C) 5

D) 7

E) 9

Çözüm: 31, 33, 35 ve 37 sayıları ile 26 sayısı tek tek alındıklarında aralarında asaldır. Ancak a = 9 olduğunda 26 sayısı ile 39 sayısı aralarında asal olmaz. Çünkü ortak bölenleri 1 ve 13’tür. Dolayısıyla cevap E seçeneğidir.

Aşağıdaki sayı çiftlerinden hangisi aralarında asal değildir?

A) 2 ve 5

B) 15 ve 16

C) 11 ile 67

D) 30 ile 68

E) 89 ile 81

Çözüm: 2 ve 5 sayılarının her ikisi asal oldukları için bu sayılar aralarında saldır. 15 ve 16 ardışık sayılardır. Ardışık doğal sayılar da her zaman aralarında asaldır. 11 ve 67 de aralarında asaldır. 89 ve 81’in de 1’den başka ortak böleni yoktur. Ancak D seçeneğinde her iki sayı da çifttir. Bu nedenle ikisinin pozitif ortak böleni olarak 2 bulunur. Bu sayılar aralarında asal değildir. Cevap D seçeneğidir.

Birbirinden farklı üç doğal sayı olan 12, 17 ve x sayıları aralarında asaldır. Buna göre x sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 15

B) 18

C) 25

D) 36

E) 85

Çözüm: 15 ve 12’nin her ikisi de 3’ün katıdır. Aynı şekilde 18 de üçün katıdır. Bu nedenle A ve B seçenekleri olamaz. 36 da doğrudan 12’nin katıdır. 85 ise 17’nin tam katıdır. Ancak x sayısı 25 olabilir. Bu durumda üç sayı da aralarında asal olacaktır. Cevap C seçeneğidir.

Doğal sayılar kümesinde yer alan a ve b sayıları için a/b = 4/10 eşitliği verilmiştir. Bu iki sayı aralarında asal olduğuna göre a.b çarpımının değeri nedir?

A) 10

B) 20

C) 40

D) 80

E) 160

4 ve 10 aralarında asal değildir. Bunların katları da aralarında asal olmayacaktır. Aralarında asal olabilmeleri için kesri en sade haline getirelim. a/b = 2/5 olur. 2 ve 5 aralarında asal olduğu için şartı sağlar. Öyleyse sayılar 2 ve 5, çarpımları ise 10 olur. Doğru yanıt A seçeneğidir.

Aralarında asal ne demektir öğrendiniz. Asal sayılarla ilgili bol miktarda örnek çözerek öğrendiklerinizi pekiştirmeyi ihmal etmeyin.

Asal sayılar matematik için önemli bir sayı grubudur. Bütün sayılar asal sayıların belirli sayıda birbiriyle çarpılmasıyla elde edilmektedir. Öğrenciler için hangi sayının asal olup olmadığını anlamak ise her zaman bir meseledir. Bu yazıda 91 asal sayı mıdır sorusuna cevap vereceğiz. Bu sayı bizim için önemlidir. Çünkü daha önce bu sayı üniversite sınavında çıkmıştır.

Görüntü olarak sizi yanıltsa dahi 91 asal sayı değildir. Çünkü asal olma şartlarını taşımamaktadır.

Bir sayının asal sayı olabilmesi için 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmaması gerekir. 91’in pozitif bölenleri şu şekildedir: 1, 7, 13, 91. Yani 91’in 13 ve 7 şeklinde iki pozitif böleni daha vardır. Aynı zamanda 91 = 7×13 eşitliği de vardır.

Asal sayılarla ilgili daha detaylı bilgiye asal sayılar konu anlatımı kısmından ulaşabilirsiniz.

Konuyla İlgili Çıkmış Soru

91 asal sayı mı değil mi kesin olarak öğrendik. Bu sayının bu açıdan meşhur olmasının nedeni 2010 YGS sınavında çıkmasıdır. Soru direk 91 ile ilgili olmasa dahi 91 sayısı sorunun cevabını değiştiriyordu. Bu nedenle soru iki yanıtlı hale geldi. Nitekim bu soru yanlış olduğu için iptal edildi.

2010 YGS asal sayı sorusu:

İki basamaklı bir AB sayısı asal olduğunda BA sayısı da asalsa AB’ye simetrik asal denir.

Bir AB simetrik asal sayısı için A.B çarpımı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 7

B) 9

C) 15

D) 21

E) 63

Çözüm: 7 için 7.1 alırız. 17 ve 71 asal sayıdır. 21 için 3.7 alırız. 37 ve 73 asal sayıdır. 63 için 7.9 alınır. Hem 79 hem de 97 asal sayıdır. Ancak 9 ve 15 için bunu sağlayamayız. Dolayısıyla hem B hem de C doğru seçenektir.

Soruyu hazırlayan 9 için 9.1 düşünmüş ve 91 ve 19’un asal sayı olduğunu düşünmüş. 19 asal sayıdır ancak 91 değildir. Bu gözden kaçtığı için soru yanlış olmuştur.

91’in Asal Çarpanları

Bir sayının çarpanları o sayının tam bölündüğü sayılardır. Çarpanlar konusunda asal çarpanlar bizim için çok önemlidir. Çünkü sadece asal çarpanları belirli sayıda birbiriyle çarparak sayıyı elde edebilirsiniz.

• 91’in çarpanları: -91, -13, -7, -1, 1, 7, 13, 91
• 91’in pozitif çarpanları: 1, 7, 13, 91
• 91’in asal çarpanları: 7, 13

Bu mantığı bütün sayılar için uygulayabilirsiniz. Asal çarpanları bulabilmek matematikte birçok sorunun çözümü için önemlidir. Asal çarpan bulmak için sayıyı 1 oluncaya kadar bölersiniz. Elde ettiğiniz sayılardan asal olanlarını alırsınız.

91 sayısına benzer 97 için de 97 asal mıdır diye soruluyor. 97 asal sayıdır. Aynı şekilde 73, 83, 79 ve 89 sayıları da birer asal sayıdır. Ancak asal zannedilen 57, 91 ve 93 gibi sayılar asal sayı değildir.

Asal Sayılar

1 den ve kendisinden başka pozitif böleni (çarpanı) olmayan 1 den büyük doğal sayılara asal sayılar denir.

Asal olmayan ve 1 den büyük olan doğal sayılara bileşik sayı denilir. İlk 10 asal sayı; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 dur. ilk 10 bileşik sayı ise; 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 dir.

2 den başka çift olan asal sayı yoktur.

Asal sayılar kümesi üstten sınırsızdır. 

1 den büyük her doğal sayının en az bir asal sayı çarpanı (böleni) vardır. 

n bir bileşik sayı ise n sayısının √n den büyük olmayan bir asal çarpanı vardır. Bu özellik nedeniyle herhangi bir n doğal sayısının asal sayı olup olmadığı şöyle anlaşılır:

• n sayısının √n den küçük eşit olan asal sayılardan en az birine bölünüp bölünmediği kontrol edilir. Hiçbirine bölünemiyorsa, n asal sayıdır.

ÖRNEK

• 223 sayısı asal sayıdır. Çünkü, √223 – 14,9… dur. 14,9… e kadar olan asal sayılar; 2, 3, 5, 7, 11 dir. 223 sayısı bu asal sayılardan hiçbirine bölünemez. O halde, 223 asal sayıdır.

Asal Çarpanlarına Ayırma

1 den büyük her tam sayı, tabanları farklı asal sayılar, üsleri pozitif doğal sayılar olan çarpanlar cinsinden, çarpanların yazılış sırası önemli olmamak üzere tek türlü yazılabilir. Bu yazılıma, o sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.

ÖRNEK

n! Sayısının Çarpanlarının Üssünü Bulmak;

m≤n ve m asal sayı olsun. n! sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında m nin üssü şöyle bulunur:

[alert type=”info” icon-size=”normal”][/alert]

n! Sayısının Sonundaki 0 Sayısı;

n≥25 olmak üzere, n! sayısının sonunda ardışık olarak kaç tane 0 olduğu şöyle bulunur:

[alert type=”info” icon-size=”normal”][/alert]

UYARI

• n≥25 için n! – 1 sayısının sonundaki ardışık 9 ların sayısı, n! sayısının sonundaki 0 ların sayısına eşittir.

Bir Doğal Sayının Tam Sayı Bölenleri;

a, b, c, … birbirinden farklı asal sayılar; p, q, r, … pozitif doğal sayılar olmak üzere, n≥2 doğal sayısı; n =  biçiminde asal çarpanlarına ayrılmış olsun.

1. n doğal sayısının pozitif tam sayı olan bölenlerinin sayısı;

• (p + 1) (q + 1).(r + 1)… dir.

n doğal sayısının bütün tam sayı bölenlerinin sayısı;

• 2.(p+1)(q + 1).(r + 1) … dir.

2. n doğal sayısının pozitif tam sayı olan bölenlerinin toplamı;

• [alert type=”info” icon-size=”normal”] biçiminde de yazılabilir.[/alert]

3. n doğal sayısının pozitif tam sayı olan bölenlerinin çarpımı;

• [alert type=”info” icon-size=”normal”][/alert]

4. n doğal sayısından küçük ve n ile aralarında asal doğal sayıların sayısı;

• [alert type=”info” icon-size=”normal”][/alert]