Bölünebilme kuralları matematiğin en temel konuları arasındadır. Bu yazıda az bilinen bir bölünebilme kuralını paylaşacağız. 17 ile bölünebilme kuralı öğrenildiğinde test kitaplarında işinize yarayabilecek.

Öncelikle şunu belirtelim ki 17 bir asal sayıdır. Asal sayıların bölünme kuralları diğer sayılara göre daha zordur.

17 ile bölünecek sayısı 10a + b şeklinde yazıyoruz. Ardından a – 5b sonucunun 17’nin katı olup olmadığına bakıyoruz. Eğer sonuç 17’nin katıysa bu sayı 17 ile tam bölünüyor demektir.

Örnek 1: 357 sayısının 17’ile bölünüp bölünmediğini bulalım.

Bu sayısı 10a + b şeklinde yazalım. 357 = 35.10 + 7 olur. Burada a = 35 ve b = 7 olur. Ardından a – 5b sonucu bulalım. 35 – 5.7 = 0 bulunur. 0, 17 ile tam bölündüğüne göre 357 sayısı da tam bölünür demektir.

17 ile Bölümünden Kalan Bulma

17 ile bölünebilme kuralını öğrendik. Şimdi de kalan bulma nasıl yapılır ona değinelim. Aslına bakarsanız kalanı bulmak için kestirme bir yol bulunmuyor. Onun yerine bu sayıya en yakın ve tam bölünen sayıyı buluyoruz. Aradaki farkı da kalan olarak alıyoruz.

Örnek soru kalan nasıl bulunur görelim.

Örnek 2: 189 sayısının 17 ile bölümünden kalanı bulalım.

Yine 18.10 + 9 şeklinde yazarız. 18 – 5.9 = 18 – 45 = -27 bulunur. Şimdi bu sayının tam bölünmesi için -27 değil de -17 çıkması gerekirdi. Öyleyse 5b sayısını 10 küçültmek gerekir. Bu durumda b’yi 2 küçültmek gerekir. Öyleyse 187 sayısı 17’nin tam katıdır ve 189 sayısının 17 ile bölümünden kalan 2’dir.

Örnek 3: 2078 sayısının 17 ile bölümünden kalan kaçtır?

Sayı büyüdüğü zaman kuralı aşamalı olarak uygulamak gerekebilir. Bu durumda eğer uygulamak zor geliyorsa direk bölme işlemi üzerinden de sonuç bulabilirsiniz.

2078 sayısını 207.10 + 9 şeklinde yazarız. 207 – 5.8 = 167 bulunur. 167 için tekrar kuralı uygularsak 16 – 5.7 = -19 olur yani sayı tam bölünmez. Öyleyse bu sayının 17 ile bölümünden kalanı nasıl bulabiliriz?

Sayının 17 ile bölümünden kalanı bulmak için sayıya en yakın olan ve on yedinin katı olan sayıyı bulalım. Yukarıda bulduğumuz 167 sayısının 170 olması durumunda sayı tam bölünecektir. Öyleyse 207 – 5.x işleminin sonucuna veya olmazsa 206 – 5x sayılarına bakmalıyız. Bunlardan herhangi biri 17’nin katını yakalarsa sorun ortadan kalkacaktır.

207 – 5.4 = 207 – 20 = 187 bulunur. 187 de 17’nin katıdır. Yani 2074 sayısı 17’e tam bölünür. Bu durumda 2078’nin 17 ile bölümünden kalan 4 bulunur.

Bölünebilme kuralı matematiğin çeşitli konularında problem çözmemize yarayan önemli ve temel kurallardır. Üzerinde sık durulmasa da birçok soru kitabında karşımıza çıkan kurallardan biri de 18 ile bölünebilme kuralıdır.

Bu yazıda 18 ile bölünebilme örnekleri çözecek ve konuyla ilgili bilgimizi pekiştirmeye çalışacağız. Ancak öncesinde mutlaka 18 ile bölünebilme kuralı nasıldır hatırlamamamız gerekir.

Bir sayı hem 9 hem de 2 ile kalansız bir şekilde bölünebiliyorsa bu sayı aynı zamanda 18 ile de bölünebilir. 9 ve 2 aralarında asal olduğu için kuralı bu şekilde çıkarabiliriz. Ancak örneğin 3 ve 6’nın çarpımı da 18 etmesine rağmen böyle bir kural çıkaramayız.

36, 54, 72 gibi 18’le kalansız bölünen sayılara baktığımızda hepsinin ortak iki özelliği 2’ye ve 9’a bölünmeleridir. Bir sayının 2’ye bölünebilmesi için çift olması yeterlidir.

18 ile Bölünebilme Örnek Soruları

Yukarıda tekrar hatırladığımız kural ile ilgili örnekleri çözerek daha iyi öğrenmeye çalışalım.

Örnek 1: c bir doğal sayı olmak üzere 3 basamaklı 1c8 sayısı 18 ile tam bölünmektedir. Öyleyse c’nin alabileceği kaç değer vardır?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Çözüm: Sayı 8 ile bittiğine göre çift sayıdır. Yani 2’ye bölünmede sorun bulunmamaktadır. Öyleyse hemen 9’a bölünüp bölünme şartlarına bakalım. Rakamları toplarsak 1 + c + 8 = 9 + c bulunacaktır. Bu toplamın 9’un katı olması gerekiyor. Öyleyse c 0 veya 9 olabilir. Dolayısıyla c’nin alabileceği 2 değer vardır. Cevap B’dir.

Örnek 2: 936 + A işleminin sonucu 18’in tam katıdır. Buna göre 5 basamaklı A sayısı aşağıdakilerden  hangisi olabilir?

A) 12908

B) 14542

C) 21841

D) 33210

E) 57526

Çözüm: 936 sayısı zaten 18’in katıdır. Öyleyse A sayısı da 18’in tam katı olursa sorun kalmaz. Şıklara baktığımızda bir seçenek hariç diğerleri zaten 2’ye bölünüyor. Öyleyse diğer şart olan 9 ile bölünmeye bakalım. Sadece D seçeneğinde rakamların toplamı 9’un katıdır. Öyleyse cevap D’dir.

Örnek 3: 5 basamaklı 2205a sayısı 18 ile bölündüğünde 0 kalanını vermektedir. Buna göre a aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 0

B) 2

C) 4

D) 6

E) 8

Çözüm: Öncelikle a kesinlikle çift sayı olmalıdır. Çünkü sayının 2’ye bölünmesi gerekir. İkinci olarak da sayının rakamlarının toplamı 9’un katı olmalıdır. Diğer rakamları toplarsak 2 + 2 + 0 + 5 = 9 etmektedir. Öyleyse a 0 veya 9 olabilir. Ancak 9 olursa çiftlik bozulacağı için yalnızca 0 olabilir. Cevap A seçeneğidir.

Örnek 4: 2 ile tam bölünebilen bir sayı 9 ile bölündüğünde 7 kalını vermektedir. Buna göre bu sayının 18 ile bölümünden kalını kaçtır?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 16

Çözüm: 18 ile bölümünden kalan bulma sorularında şu yöntemi uygularız. Sayı 2 ile bölünüyorsa çift olacaktır. 9 ile bölümünden 7 kalanı veren bir sayı ya 7 ya da 16’dır. Şimdi bu sayının 2 ile bölünmesi için çift olması gerektiğine göre cevap 16 olacaktır. Gördüğünüz gibi soru bu kadar basittir. Cevap E’dir.

Örnek 5: 4 basamaklı bir sayının 36 ile bölümünden kalan 12’dir. Buna göre bu sayının 18 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 6

B) 8

C) 12

D) 15

E) 16

Çözüm: 36 zaten 18’in katı olduğu için 36 ile bölünebilen her sayı aynı zamanda 18 ile de tam bölünür. Şimdi bu sayının 36 ile tam bölünebilmesi için gereken şey sayıdan 12 çıkarmaktır. Sayıdan 12 çıkardığımız zaman zaten 18’e de bölünmesi gerekir. Öyleyse 18 ile bölümünden de kalan 12’dir. Cevap C’dir.

Örnek 6: Altı basamaklı bir X sayısının 2 ile bölümününden kalanın 1 olduğu bilgisi verilmiştir. Bu sayı ayrıca 9’a bölündüğünde 2 kalanı vermektedir. Bu durumda bu sayının 18 ile bölümünden kalan kaç olacaktır?

A) 2

B) 5

C) 8

D) 11

E) 14

Çözüm: Yukarıda 18 ile bölümünden kalan nasıl bulunur anlattık. 9 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre bu ya 2 ya da 2 + 9 = 11 olur. Bu sayı 2’ye tam bölünmediğine göre tek sayı olması gerekir. Öyleyse cevap 11 yani D seçeneği bulur.

Örnek 7: Beş basamaklı 126bc sayısının rakamları birbirinden farklıdır. Bu sayının 18 ile tam bölündüğü bilindiğine göre b.c çarpımı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 0

B) 6

C) 8

D) 14

E) 20

Çözüm: 9 ile bölünebilme kuralını heme uygulayalım. 1 + 2 + 6 + b + c = 9 + b + c bulunur. Bu değerin 9’un katı olması isteniyorsa b + c toplamı 0, 9 veya 18 olabilir. 0 olması için 00 olması gerekir ki o zaman da rakamları farklı olmaz. Yine 18 olması için tek çare 99 olmasıdır. Bu durumda da yine rakamları farklı olmamış olur.

Öyleyse b + c = 9 olmalı ve yine c sayısı çift olmalıdır. Olabilecek bc ikililerini yazarsak 18, 36, 54, 72, 90 bulunur. Bunların her biri için de b.c çarpımını bulalım. 1.8 = 8, 3.6 = 18, 5.4 = 20, 7.2 = 14, 9.0 = 0. Bu durumda seçeneklere bakarsak sadece 6 olmaz. Geri kalanları olabilir. Cevap C seçeneğidir.

Örnek 8: 72 ile bölündüğünde 42 kalanı veren 8 basamaklı K sayısının 18 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 0

B) 6

C) 9

D)12

E) 15

Çözüm: 72 ile tam bölünen sayılar elbette 18’e de tam bölünür. Çünkü 72 18’in katıdır. 72’ye bölündüğünde 42 kalanı veren sayıdan 42 çıkardığımızda ise 72’ye ve 18’e tam bölünecektir. 18’e tam bölünen bir sayıya ise 42 eklediğimizde elde edilen sayının 18 ile bölümünden kalanı bulmak için 42’yi 18’e bölmek gerekir. 42’ye en yakın ve 18’in katı olan sayı 36’dır. Öyleyse 42 – 36 = 6 kalan bulunur. Cevap B seçeneğidir.

Konumuz gereği bu yazıda 25 ile bölünebilme kuralı ve örnekleri üzerinde duracağız. İlerleyen konularda diğer tam bölme kurallarını da elimizden geldiğince anlatmaya çalışacağız.

25 ile bölünebilme kuralında sadece sayının son iki basamağına bağlıdır. Bu basamaklar 25’in tam katıysa sayı bölünür. Aksi taktirde bölünmeyecektir. Öyleyse bir sayının 25’e kalansız bölünebilmesi için sonunun 00, 25, 50 veya 75 ile bitmesi gerekir. Aksi taktirde tam bölünme olmaz.

Sayının soldaki devamı bizi hiç ama hiç ilgilendirmiyor. Sadece onlar ve birler basamağına bakıyoruz. Bunun ispatı ve mantığını isterseniz 100’ler basamağından itibaren ne koyarsanız koyun 100, 1000 gibi sayılar 25’in katı olduğu için bölünme açısından sorun çıkarmayacaktır. Her türlü 25’in katı olacaktır.

25 ile Bölünebilme Kuralı Örnekleri

Örnekler üzerinden konuyu daha iyi anlayabiliriz.

Örnek #1: Aşağıda verilen sayılardan hangi 25 ile kalansız bölünür?

A) 11360

B) 14840

C) 14055

D) 28300

E) 42470

Çözüm: Sayının sadece son iki basamağına bakıyoruz. Kalansız bölünebilme olması için temel kuralımız 00, 25, 50, 75 sayılarını aramaktır. Burada sadece D seçeneğinde 00 bulunmaktadır. Öyleyse cevap D’dir.

Örnek #2: Aşağıdaki sayılardan hanginde 25 ile bölümden kalan 12’dir?

A) 87254

B) 121437

C) 25460

D) 42132

E) 85372

Çözüm: Bir sayının 25 ile bölümünden kalan 12 ise o sayıdan 12 çıkardığımızda 25’e tam bölünür demektir. Öyleyse bütün sayıların son iki basamağından 12 çıkarım. 25’in tam katı bir sayı elde edersek doğru yerdeyiz demektir. A için 42, B için 25, C için 48, D için 20 ve E için 60 elde edilir. Bu durumda doğru yanıt tabi ki B olacaktır.

Örnek #3: 67a225 altı basamaklı sayısı 25 ile tam bölünebildiğine göre a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 45

B) 40

C) 35

D) 25

E) 15

Çözüm: Sayı altı basamaklıysa a tek basamaklı bir sayı olmak zorundadır. Aynı zamanda sayının son iki basamağı 25 ile bitmektedir. Yani a ne olursa olsun sayı her türlü 25 ile tam bölünecektir. Öyleyse a 0’dan 9’a kadar bütün değerler alabilir. 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 bulunur. Cevap A’dır.

Sayının tam bölünebilmesi için son iki basamağının 00, 25, 50, 75 olması gerekir. Son rakam 0 olduğuna göre bu durumda elimizde 00 ve 50 seçenekleri kalmaktadır. Öyleyse a ya 0 ya da 5 olur. İki değeri çarparsak 0 olur. Cevap A seçeneğidir.

Örnek #4: a ve b birer rakam olmak üzere, 3345ab sayısı her 25 ile hem de 4 ile tam bölünmektedir. Buna göre a + b toplamının değeri nedir?

A) 0

B) 4

C) 5

D) 7

E) 12

Çözüm: Bir sayının 25 ile bölünebilmesi için son iki basamağı 00, 25, 50 ya da 75 olmalıdır. Ancak 4 ile de bölünmesi için ayı zamanda son iki basamağın da 4’ün katı olması gerekir. Bu sayılardan sadece 00 bu şartı sağlar. Diğerleri sağlamaz. Öyleyse a ve b rakamları 0 olacaktır. Toplamları da yine 0 olur. Cevap A seçeneğidir.

Örnek #5: Rakamları birbirinden farklı 5 basamaklı 730mn sayısı verilmiştir. Bu sayının aynı zamanda 25’in katı olduğu da bilinmektedir. Öyleyse m.n ifadesin değeri kaç olur?

A) 5

B) 6

C) 10

D) 16

E) 18

Çözüm: Soruda bize rakamları farklı demiştir. Bu sayının 25 ile bölünebilmesi için sonu 00, 25, 50 veya 75 ile bitmesi gerekir. Ancak sayıda 0 rakamı kullanıldığı için 00 ve 50 olamaz. 7 rakamı da kullanıldığı için 75 de olamaz. Geriye bir tek 25 kalmaktadır. Öyleyse mn sayısı 25 olduğuna göre m.n = 2.5 = 10 olacaktır. Cevap C’dir.

Örnek #6: 243xy beş basamaklı sayı 75 ile kalansız bölünmektedir. Buna göre iki basamaklı xy sayısının eşiti nedir?

A) 25

B) 50

C) 75

D) 80

E) 90

Çözüm: Bir sayının 75 ile bölünebilmesi demek hem 25 ile hem 3 ile bölünebilmesi demektir. 3 ile bölünebilme kuralına göre ise rakamlarının toplamının 3’ün katı olması gerekir. Geri kalan rakamları toplayalım. 2 + 4 + 3 = 9 etmektedir. Buna 00 eklediğimizde toplam 9 olduğu için şartı sağlamaktadır.

Ancak sonuç 00 olursa xy sayısı iki basamaklı olmayacaktır. 50’de toplam 14 olur sağlamaz. 75’de toplam 21 olur sağlar. 80 ve 90 ise zaten 25’in katı değildir. Öyleyse cevap 75 yani C şıkkı olur.