Matematik belki de ne önemli konusu çarpanlara ayırmadır. Matematikte iyi bir seviyeye gelmenin basamak taşı da yine bu konudur. Çünkü çarpanlara ayırmadan diğer matematik konularını da anlamak pek mümkün olmuyor. Eğer matematiğinize iyi bir katkı yapmak istiyorsanız özdeşlik formüllerini iyi öğrenmelisiniz. Bu yazıda özdeşlikler ve formülleri üzerinde duracağız.

Özdeşlikler çarpanlara ayırma yöntemi olarak neredeyse her konuda karşımıza çıkıyor. Dolayısıyla bunları bilmeden trigonometri, limit, türev ve integral gibi konuları yapabilmek çok mümkün görünmüyor. Bizim için en önemli özdeşlikler tam kare toplamı ve farkı, iki kare farkı, küp açılımı, iki kare toplamı gibi konulardır.

En Önemli Özdeşlikler Listesi

Aşağıda yer alan özdeşlik formülleri çok ama çok iyi öğrenmelidir. En önemli özdeşlikler ve formülleri şöyle sıralanabilir:

1. (a+b)² = a² + 2ab + b²
2. (a−b)² = a² − 2ab + b²
3. a² − b² = (a+b)(a−b)
4. a² + b² = (a+b)² – 2ab
5. a² + b² = (a-b)² + 2ab
6. a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
7. a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
8. (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
9. (a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Bu özdeşlikler iyi bilinmeden matematik geliştirilemez. Bunları bilmek demek sadece formülleri ezberlemek demek değildir. Aynı zamanda sorularda aktif olarak kullanabiliyor olmak demektir. İlk etapta çok fazla formül var gibi gözükse de soru çözdükçe bunlar oturacaktır.

Yukarıdaki özdeşliklerin isimlerini de vereceğiz. Bu isimleri bilmek zorunda değilseniz ancak aklınızda özdeşlikleri sınıflandırma açısından faydası olacaktır.

1. Tam kare toplamı
2. Tam kare farkı
3. İki kare farkı
4. İki kare toplamı
5. İki kare toplamı
6. Küp toplamı açılımı
7. Küp farkı açılımı
8. Toplamın küpü
9. Farkın küpü

İlgili yazı: x³ + y³ açılımı

Özdeşlikler Nasıl İyi Öğrenilir?

Yukarıda özdeşlikleri liste olarak verdik zaten. Ancak hiçbir derste olduğu gibi matematikte de formül ezberlemek tek başına kurtarmaz sizi. Bir şeyin işinize yaraması için onu kullanıyor olmayı da bilmeniz gerekir.

Eğer konuya çok uzaksanız bunları bilmek ilk etapta size biraz zor gelecektir. Formüller birbirine karışacaktır. Ancak soru çözdükçe bunlar gelişecektir. Çarpanlara ayırmayı ve genel olarak matematiği geliştirmek için kendinize yapacağınız en iyi fayda çarpanlara ayırma ile ilgili basit düzeyde de olsa bol miktarda soru çözmeniz gerekir.

Çarpanlara ayırma gibi konular tecrübeyle gelişir. Bunun ana yolu da her seviyeden bol miktarda soru çözmektir.

Belli aralıklarla konuyu tekrar çözerek pratiğinizi arttırdığınızda bütün özdeşlik formülleri size çok ama çok basit gelecek ve bir daha unutmanız mümkün olmayacaktır.

Özdeşlik Formülleri ile İlgili Basit Örnekler

Elbette bu konuyla ilgili test çözeceksiniz. Trigonometri ya da polinomlar gibi temel konularda da sürekli bunlara rastlayacaksınız. Ancak konuyu hazır öğrenmişken hemen birkaç basit soru çözelim. Buraya gelmişken bir şeyi oturtmak açısından iyi bir adım atmış olalım.

• (x + 2)² = ?
• (y + 1)² = ?
• (z – 3)² = ?
• (k – 5)² = ?
• x² – 9 = ?
• 4y² – 1 = ?
• x² + 25 = ?
• 9a² + 4b² = ?
• x³ – a³ = ?
• x³ + a³ = ?
• x³ – 1 = ?
• x³ + 27 = ?

Bu soruları kolay diye düşünmeden hepsini çözün. Matematikte en basit görünen bilgi iyi öğrenilmediği taktirde ilerleme gerçekleşmez. Özdeşlik formülleriyle ilgili hedefimiz konuyu çok ama çok iyi öğrenmek olmalıdır.

Yukarıda yer alan basit özdeşlik formüllerini içselleştirirseniz daha karmaşık çarpanlara ayırma konularını daha kolay öğrenirsiniz. Ancak basit özdeşlikler anlaşılmadan matematiği güçlendirmek pek mümkün değildir.

Matematikte çarpanlara ayırma belki de en önemli konudur. Çünkü bu konuyu bilmeden diğer konularda da işlem yapmak oldukça zordur. Bu yazıda çarpanlara ayırmada işimize çok yarayacak x²+y² açılımı üzerinde durmaya çalışacağız.

Aslına bakarsanız bütün özdeşlikler birbiri ile bağlantılıdır. Tam kare açılımı ya da parantez kare açılımı iyi bilinirse x²+y² açılımı (iki kare toplamı) daha iyi bilinir.

Bilmemiz gereken en önemli özdeşlikler şöyle sıralanabilir:

• Tam kare açılımı: (x + y)² = x² + y² + 2xy
• Tam fark açılımı: (x – y)² = x² + y² – 2xy
• İki kare toplamı: x² + y² = (x + y)² – 2xy = (x – y)² + 2xy
• İki kare farkı x² – y² = (x – y).(x + y)

Esas dikkat etmeniz gereken şey şudur. İki sayının karesini toplamak ile iki sayının toplamının karesini almak aynı şey değildir. Yani (x + y)² ≠ x² + y² eşit değildir.

x² + y² Açılımı Nasıl Elde Edilir?

Bu açılımın nereden geldiğini bilirsek çok daha işimiz kolay olur. Öncelikle tam kare ya da parantez kare alma işlemi çok temel bir özdeşliktir.

(x + y)² = x² + 2xy + y²  şeklindeki bu özdeşlik çok ama çok önemlidir. Burada x² + y² kısmını yalnız bırakırsak x² + y² = (x + y)² – 2xy elde edilebilir.

Eğer işlem farkın parantez karesiyle o zaman da (x – y)² = x² – 2xy + y²  şeklinde olur. Yani formülde x² + y² kısmı ortaktır. Burada da bunu yalnız bırakırsak x² + y² = (x – y)² + 2xy elde edilir.

Kısacası x² + y² açılımı için ya toplamın parantez karesini alıp 2xy çıkarmak ya da farkın parantez karesini alıp 2xy eklemek gerekir.

Matematikte hiçbir özdeşlik diğerlerinden bağımsız değildir. Hem bunları hem de yukarıda verdiğimiz iki kare farkını bol miktarda kullanmalı ve örnek çözmelisiniz. Bu eşitlikleri hiç düşünmeden kullanabiliyor olmak matematiğinizin gelişmesi açısından çok önemli bir adımdır.

x³ + y³ ve x³ – y³ Açılımı

Küp açılımı da denen bu açılım hakkında detaylı bilgiye şuradan ulaşabilirsiniz. Kısaca biz işimize çok yarayacak bu özdeşliklerin formüllerini verelim:

• x³ + y³ = (x + y).(x² – xy + y²)
• x³ – y³ = (x – y).(x² + xy + y²)

Bu özdeşlikleri de yine matematikte yaygın olarak kullanmaktayız. Bol örnekle pekiştirmek oldukça yararlı olacaktır.

Son olarak işimize yarar diye küp açılımının parantezli olanlarını da verelim:

• (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
• (x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³

Parantezli kuvvet alma işlemlerini iyi öğrenmek için binom açılımı konusuna çalışmanızda da fayda vardır.