İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı ve kökler çarpımı gibi kavramları çok sık duyarız. Ancak bazen sorularda kökler farkı da karşımıza çıkar. Bu yazıda kökler farkı formülü üzerinde duracak ve size bu sorulduğunda nasıl bir çözüm geliştirebileceğinizi anlatacağız.

İkinci bir denklem formu ax² + bx + c şeklindedir. Bu formdaki bir denklemde kökler farkı formülü x₁ – x₂ = √Δ / a şeklindedir. Burada x₁ ve x₂ denklemin iki ayrı köküdür.

Köklerden hangisinin büyük olduğunu bilmiyoruz. Bu yüzden sonuç negatif de çıkabilir pozitif de. Sonucun negatif çıkması a’nın negatif olması ile mümkündür. Negatif sonuç çıktığında mutlak değer alabiliriz.

Bu durumda sonucun negatif çıkmaması için mutlak değerli şekilde formülü düzenleyebiliriz. Formül şu şekilde olacaktır: |x₁ – x₂| = √Δ / |a|

Formüldeki Δ delta ya da diskriminant için de formülü verelim. Δ = b² – 4ac ile bulunur. Formülü bu şekilde daha açık ifade edersek |x₁ – x₂| = √(b² – 4ac) / |a| şeklinde ifade edebiliriz.

Kökler Farkı Formülünün İspatı

Kökler toplamının basitçe -b/a ve kökler çarpımının c/a formülüyle bulunduğunu biliyoruz. Bir ikinci dereceden denklemde kökleri bulmak istersek de iki ayrı yöntemimiz var. Birincisi çarpanlarına ayırıp kökleri bulmaktır. İkincisi yine delta (Δ) kullanmaktır.

Kökler farkı formülünün ispatı delta kullanılan kök bulma formülünden gelmektedir. Bildiğiniz gibi denklemin iki reel kökü olması için Δ ≥ 0 olmalıdır. Zaten Δ < 0 olduğunda kökün içerisi de negatif olduğundan kök bulmak zor hale gelecektir.

İkinci dereceden bir denklemin delta ile köklerini şu şekilde bulabiliriz. Birinci kök yani x₁ = (-b + √Δ)/2a ve ikinci kök x₂ = (-b – √Δ)/2a ile bulunur. Şimdi bunların farkını bu formül üzerinden alalım.

x₁ – x₂ = [(-b + √Δ) – (-b – √Δ)]/2a olur. Üst kısmı açarsak x₁ – x₂ = [(-b + √Δ + b + √Δ)]/2a elde edilir. Burada işlemleri yaparsak da x₁ – x₂ = 2√Δ/2a bulunur. Yine altta ve üstte bulunan 2 sadeleşirse x₁ – x₂ = √Δ/a elde edilir. Burada sadece negatif sonuçlardan kaçınmak için mutlak değer kullanmamız da gerekecektir.

Kökler farkı sorularının önemli bir kısmı diğer bilgilerden çözülür. Yani bu formüle ihtiyaç bile duymayabilirsiniz. Ancak biz yine de ispatını anlattık. Size tavsiyemiz bilmiyorsanız eğer kökler toplamı formülü yazısına mutlaka bakmanızdır.

İkinci dereceden bir denklemin iki kökü vardır. Bu köklerin toplamı -b/a formülü ile elde edilmektedir. Bu formülü uygularken denklemi ax² + bx + c çeklinde düşünmeliyiz.

Formüldeki a, x²‘nin katsayısı; b ise x’li terimin katsayısıdır. Eğer denklemde x²‘li terim yoksa bu denklem ikinci dereceden değildir demektir. Eğer x’li terim yoksa b’yi 0 almamız gerekecektir.

Bir Denklemin Kökleri Ne Anlama Gelir?

Kökler toplamı formülünü verdik. Ancak birçok öğrencinin bu formülleri ezberlediği halde kökün ne anlama geldiğini bilmediğini gördük. Kısaca denklemde kök kavramı üzerinde duralım.

Bir denklemi sağlayan değere o denklemin kökü denir. Örneğin x – 2 = 0 denkleminin kökü 2’dir. Çünkü bu denklem ancak x = 2 olduğunda sağlanır.

Birinci dereceden denklemlerin 1, ikinci dereceden denklemlerin 2 ve üçüncü dereceden denklemlerin 3 kökü bulunmaktadır. Denklemin derecesi arttıkça kök sayısı da artmaktadır.

Örneğin x² – 4 = 0 denklemi ikinci dereceden bir denklemdir ve iki kökü bulunmaktadır. Bu kökler -2 ve 2 şeklindedir. Her iki değer de bu denklemi sağladığı için ikisi de köklerdir.

Bu arada işimize çok yarayacak kökler çarpımı formülünü de verelim. İkinci derecede denklemlerde kökler çarpımı c/a formülüyle bulunur.

3. Dereceden Denklemlerde Kökler Toplamı ve Çarpımı

İkinci derecede denklemlerde kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini verdik. Öğrenciler çok sorduğu için ve bazı sorularda karşımıza da çıktığı için 3. dereceden denklemler için de bu formülleri verelim.

3. dereceden denklemin genel hali şu şekildedir: ax³ + bx² + cx + d = 0

3. dereceden denklemlerde kökler toplamı -b/a ile kökler çarpımı ise d/a formülüyle bulunur.

Denklem ikinci veya üçüncü dereceden olursa kökler toplamı formülü fark etmez ancak kökler çarpımı formülünde fark olduğuna dikkat etmek gerekir.

Üçüncü dereceden denklemler ikinci dereceden denklemler kadar sık karşımıza çıkmaz. Ancak yine formülü bilmekte yarar vardır.

4. Dereceden Denklemin Kökler Toplamı

Dördüncü dereceden denklemler genellikle ikinci dereceden denklemlere çevrilerek çözülür. Ancak bazı sorularda çözümünü değil de kökler toplamını ya da farkını sorabilirler. Bu nedenle buna yönelik formülü de paylaşmakta yarar vardır.

4. derecede denklemin kökler formülü yine -b/a formülüyle bulunur. Ancak sorularda bunu sormak yerine muhtemelen denklemi çarpanlarına ayırarak kök bulmanızı ister.

4. dereceden denklemin kökler toplamı ve kökler çarpımı müfredatta yer almamaktadır.

Kökler Toplamı ve Çarpımıyla İlgili Bazı Örnekler

Sorularda kökler toplamıyla ilgili bir şeyler bulmamızı isteyebilir. Eğer denklem çarpanlarına ayrılarak çözülebiliyorsa bu yola gidebiliriz. Ya da direkt formülü kullanarak da sonuca gitme şansımız bulunuyor.

1. x + 7 = 0 şeklinde bir denklem tanımlanmıştır. Bu denklemin kökü kaçtır?

Çözüm: Birinci dereceden bir denklem olduğu için direkt çözeriz. x + 7 = 0 ise 7’yi karşı tarafa atarız. x = -7 bulunur.

2. x² + 3x + 2 = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?

Çözüm: bu denklemi çarpanlarına ayırırsak (x + 2).(x + 1) = 0 şeklinde elde ederiz. Bunu sağlayan iki değer de -2 ve -1’dir. Bu kökleri toplarsak -2 + -1 = -3 elde ederiz. Ya da formül üzerinden gitmek istersek a = 1 ve b = 3 olur. Öyleyse -b/a = -3 olacaktır. Her iki yöntemle de sonuca ulaşabiliriz.

3. x² + 4 = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?

Çözüm: Kökler toplamını -b/a formülüyle bulalım. İfade x’li terim olmadığı için b = 0 olur. Öyleyse -b/a = 0 olacaktır. Yani kökler toplamı 0’dır. Ancak denklemi çözmeye kalkarsanız x² + 4 = 0 ise x² = -4 olacaktır. Bir sayının karesi negatif olacağından bu denklemin aslında reel sayılarda kökü yoktur. Öyleyse kökü olmayan bir denklemin kökler toplamı nasıl oluyor?

Bir denklemin reel sayılarda kökü olmasa bile karmaşık sayılarda kökler olduğu için kökü olmayan denklemlerin de kökler toplamı ve kökler çarpımı vardır.

4. 2x² + 7x = 5 denkleminin kökler çarpımı ile kökler toplamı arasındaki fark nedir?

Çözüm: Önce denklemi standart hale getirmek için 5’i sola atalım. Bu durumda denklem 2x² + 7x – 5 = 0 olacaktır. Bu haliyle a = 2, b = 7 ve c = -5 olacaktır. Kökler toplamı -b/a olacağından -7/2 elde edilir. Kökler çarpımı ise c/a = -5/2 elde edilir. İkisi arasındaki farkı alırsak -5/2 – (-7/2) = 7/2 – 5/2 = 2/2 = 1 bulunur.

5. 4x³ + 2x² + 27 = 0 denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımı nedir?

Çözüm: Denklemde c bulunmuyor ancak ihtiyacımız da yok zaten. 3. dereceden denklemin kökler toplamı -b/a ve kökler çarpımı d/a’dır. Soruda a = 4, b = 2 ve d = 27 şeklindedir. Öyleyse kökler toplamı -2/4 = -1/2 olur. Kökler çarpımı ise d/a = 27/4 elde edilir.

İkinci dereden denklemler, çarpanlara ayırma gibi konular iyi öğrenildiğinde matematik beceresi de gelişecektir.