Matematikte ikinci dereceden denklemler en önemli konular arasında yer almaktadır. Bu konuyu öğrenmeden parabol başta olmak üzere diğer birçok konuyu da anlayamayız. İkinci derecede denklemlerle ilgili ilk öğrenilmesi gereken formül kökler toplamı formülüdür. Bu yazıda kökler toplamı formülü üzerinde duracak ve bunu iyice kavramanızı sağlayacağız.
İkinci dereceden bir denklemin iki kökü vardır. Bu köklerin toplamı -b/a formülü ile elde edilmektedir. Bu formülü uygularken denklemi ax2 + bx + c çeklinde düşünmeliyiz.
Formüldeki a, x2‘nin katsayısı; b ise x’li terimin katsayısıdır. Eğer denklemde x2‘li terim yoksa bu denklem ikinci dereceden değildir demektir. Eğer x’li terim yoksa b’yi 0 almamız gerekecektir.
Bir Denklemin Kökleri Ne Anlama Gelir?
Kökler toplamı formülünü verdik. Ancak birçok öğrencinin bu formülleri ezberlediği halde kökün ne anlama geldiğini bilmediğini gördük. Kısaca denklemde kök kavramı üzerinde duralım.
Bir denklemi sağlayan değere o denklemin kökü denir. Örneğin x – 2 = 0 denkleminin kökü 2’dir. Çünkü bu denklem ancak x = 2 olduğunda sağlanır.
Birinci dereceden denklemlerin 1, ikinci dereceden denklemlerin 2 ve üçüncü dereceden denklemlerin 3 kökü bulunmaktadır. Denklemin derecesi arttıkça kök sayısı da artmaktadır.
Örneğin x2 – 4 = 0 denklemi ikinci dereceden bir denklemdir ve iki kökü bulunmaktadır. Bu kökler -2 ve 2 şeklindedir. Her iki değer de bu denklemi sağladığı için ikisi de köklerdir.
Bu arada işimize çok yarayacak kökler çarpımı formülünü de verelim. İkinci derecede denklemlerde kökler çarpımı c/a formülüyle bulunur.
3. Dereceden Denklemlerde Kökler Toplamı ve Çarpımı
İkinci derecede denklemlerde kökler toplamı ve kökler çarpımı formüllerini verdik. Öğrenciler çok sorduğu için ve bazı sorularda karşımıza da çıktığı için 3. dereceden denklemler için de bu formülleri verelim.
3. dereceden denklemin genel hali şu şekildedir: ax3 + bx2 + cx + d = 0
3. dereceden denklemlerde kökler toplamı -b/a ile kökler çarpımı ise d/a formülüyle bulunur.
Denklem ikinci veya üçüncü dereceden olursa kökler toplamı formülü fark etmez ancak kökler çarpımı formülünde fark olduğuna dikkat etmek gerekir.
Üçüncü dereceden denklemler ikinci dereceden denklemler kadar sık karşımıza çıkmaz. Ancak yine formülü bilmekte yarar vardır.
4. Dereceden Denklemin Kökler Toplamı
Dördüncü dereceden denklemler genellikle ikinci dereceden denklemlere çevrilerek çözülür. Ancak bazı sorularda çözümünü değil de kökler toplamını ya da farkını sorabilirler. Bu nedenle buna yönelik formülü de paylaşmakta yarar vardır.
4. derecede denklemin kökler formülü yine -b/a formülüyle bulunur. Ancak sorularda bunu sormak yerine muhtemelen denklemi çarpanlarına ayırarak kök bulmanızı ister.
4. dereceden denklemin kökler toplamı ve kökler çarpımı müfredatta yer almamaktadır.
Kökler Toplamı ve Çarpımıyla İlgili Bazı Örnekler
Sorularda kökler toplamıyla ilgili bir şeyler bulmamızı isteyebilir. Eğer denklem çarpanlarına ayrılarak çözülebiliyorsa bu yola gidebiliriz. Ya da direkt formülü kullanarak da sonuca gitme şansımız bulunuyor.
1. x + 7 = 0 şeklinde bir denklem tanımlanmıştır. Bu denklemin kökü kaçtır?
Çözüm: Birinci dereceden bir denklem olduğu için direkt çözeriz. x + 7 = 0 ise 7’yi karşı tarafa atarız. x = -7 bulunur.
2. x2 + 3x + 2 = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?
Çözüm: bu denklemi çarpanlarına ayırırsak (x + 2).(x + 1) = 0 şeklinde elde ederiz. Bunu sağlayan iki değer de -2 ve -1’dir. Bu kökleri toplarsak -2 + -1 = -3 elde ederiz. Ya da formül üzerinden gitmek istersek a = 1 ve b = 3 olur. Öyleyse -b/a = -3 olacaktır. Her iki yöntemle de sonuca ulaşabiliriz.
3. x2 + 4 = 0 denkleminin kökler toplamı kaçtır?
Çözüm: Kökler toplamını -b/a formülüyle bulalım. İfade x’li terim olmadığı için b = 0 olur. Öyleyse -b/a = 0 olacaktır. Yani kökler toplamı 0’dır. Ancak denklemi çözmeye kalkarsanız x2 + 4 = 0 ise x2 = -4 olacaktır. Bir sayının karesi negatif olacağından bu denklemin aslında reel sayılarda kökü yoktur. Öyleyse kökü olmayan bir denklemin kökler toplamı nasıl oluyor?
Bir denklemin reel sayılarda kökü olmasa bile karmaşık sayılarda kökler olduğu için kökü olmayan denklemlerin de kökler toplamı ve kökler çarpımı vardır.
4. 2x2 + 7x = 5 denkleminin kökler çarpımı ile kökler toplamı arasındaki fark nedir?
Çözüm: Önce denklemi standart hale getirmek için 5’i sola atalım. Bu durumda denklem 2x2 + 7x – 5 = 0 olacaktır. Bu haliyle a = 2, b = 7 ve c = -5 olacaktır. Kökler toplamı -b/a olacağından -7/2 elde edilir. Kökler çarpımı ise c/a = -5/2 elde edilir. İkisi arasındaki farkı alırsak -5/2 – (-7/2) = 7/2 – 5/2 = 2/2 = 1 bulunur.
5. 4x3 + 2x2 + 27 = 0 denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımı nedir?
Çözüm: Denklemde c bulunmuyor ancak ihtiyacımız da yok zaten. 3. dereceden denklemin kökler toplamı -b/a ve kökler çarpımı d/a’dır. Soruda a = 4, b = 2 ve d = 27 şeklindedir. Öyleyse kökler toplamı -2/4 = -1/2 olur. Kökler çarpımı ise d/a = 27/4 elde edilir.
İkinci dereden denklemler, çarpanlara ayırma gibi konular iyi öğrenildiğinde matematik beceresi de gelişecektir.