İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı ve kökler çarpımı gibi kavramları çok sık duyarız. Ancak bazen sorularda kökler farkı da karşımıza çıkar. Bu yazıda kökler farkı formülü üzerinde duracak ve size bu sorulduğunda nasıl bir çözüm geliştirebileceğinizi anlatacağız.
İkinci bir denklem formu ax2 + bx + c şeklindedir. Bu formdaki bir denklemde kökler farkı formülü x1 – x2 = √Δ / a şeklindedir. Burada x1 ve x2 denklemin iki ayrı köküdür.
Köklerden hangisinin büyük olduğunu bilmiyoruz. Bu yüzden sonuç negatif de çıkabilir pozitif de. Sonucun negatif çıkması a’nın negatif olması ile mümkündür. Negatif sonuç çıktığında mutlak değer alabiliriz.
Bu durumda sonucun negatif çıkmaması için mutlak değerli şekilde formülü düzenleyebiliriz. Formül şu şekilde olacaktır: |x1 – x2| = √Δ / |a|
Formüldeki Δ delta ya da diskriminant için de formülü verelim. Δ = b2 – 4ac ile bulunur. Formülü bu şekilde daha açık ifade edersek |x1 – x2| = √(b2 – 4ac) / |a| şeklinde ifade edebiliriz.
Kökler Farkı Formülünün İspatı
Kökler toplamının basitçe -b/a ve kökler çarpımının c/a formülüyle bulunduğunu biliyoruz. Bir ikinci dereceden denklemde kökleri bulmak istersek de iki ayrı yöntemimiz var. Birincisi çarpanlarına ayırıp kökleri bulmaktır. İkincisi yine delta (Δ) kullanmaktır.
Kökler farkı formülünün ispatı delta kullanılan kök bulma formülünden gelmektedir. Bildiğiniz gibi denklemin iki reel kökü olması için Δ ≥ 0 olmalıdır. Zaten Δ < 0 olduğunda kökün içerisi de negatif olduğundan kök bulmak zor hale gelecektir.
İkinci dereceden bir denklemin delta ile köklerini şu şekilde bulabiliriz. Birinci kök yani x1 = (-b + √Δ)/2a ve ikinci kök x2 = (-b – √Δ)/2a ile bulunur. Şimdi bunların farkını bu formül üzerinden alalım.
x1 – x2 = [(-b + √Δ) – (-b – √Δ)]/2a olur. Üst kısmı açarsak x1 – x2 = [(-b + √Δ + b + √Δ)]/2a elde edilir. Burada işlemleri yaparsak da x1 – x2 = 2√Δ/2a bulunur. Yine altta ve üstte bulunan 2 sadeleşirse x1 – x2 = √Δ/a elde edilir. Burada sadece negatif sonuçlardan kaçınmak için mutlak değer kullanmamız da gerekecektir.
Kökler farkı sorularının önemli bir kısmı diğer bilgilerden çözülür. Yani bu formüle ihtiyaç bile duymayabilirsiniz. Ancak biz yine de ispatını anlattık. Size tavsiyemiz bilmiyorsanız eğer kökler toplamı formülü yazısına mutlaka bakmanızdır.