Matematikte açılımları yani özdeşlikleri bilmek her anlamda bize fayda sağlamaktadır. Bu özdeşliklerden biri de x3 + y3 açılımı dediğimiz bağıntıdır. Bu yazıda hem x3 + y3 açılımı hem de x3 – y3 açılımını vereceğiz.
İki küp toplamı ya da iki küp farkı olarak ifade edilen bu özdeşlikler şöyledir:
x3 + y3 = (x + y).(x2 – xy + y2)
x3 – y3 = (x – y).(x2 + xy + y2)
Küp toplamı ve küp farkı özdeşlikleri ile toplamın küpü karıştırılmamalıdır. İkisi farklı kavramlardır. Biri x3 + y3 iken diğeri (x + y)3 şeklindedir.
Yeri gelmişken karıştırmamanız için parantez küp açılımlarını da verelim:
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3
Bu iki grup özdeşlik de iyi öğrenmelidir. Parantez küp dediğimiz açılım binom açılımı ile de ilgilidir. Küp açılımıyla ilgili detaylara şu kaynaktan ulaşabilirsiniz.
x3 + y3 Açılımı Nasıl Ezberlenir?
İki küp toplamı ve iki küp farkı formüllerini verdik. Ancak bu formülleri çok sık kullanacağız. Bu nedenle bu formülleri ezbere bilmemiz gereklidir.
Şöyle mantık kurabiliriz. Eğer x küp artı y küp soruluyorsa önce küp olmadan ifadeyi aynen yazıyoruz. Yani (x + y) olarak yazıyoruz. Ardından yeni bir parantez açarak birincinin karesi + ikincinin karesi – ikisinin çarpımı şeklinde (x2 – xy + y2) ikinci parantezi yazıyoruz. İlk parantezde aradaki işaret + olduğu için ikisinde – alıyoruz.
Aynı şekilde x küp eksi y küp dendiği zaman da ilk parantez – ikincisi ise + alıyoruz. O da x3 – y3 = (x – y).(x2 + xy + y2) şeklinde oluyor.
Bu iki eşitliği de ezberlememiz önemlidir. İyi ezberlemek için bol örnek çözmemiz gerekir.
Formüllerin ispatını yapmak için iki parantez içerisindeki ifadeyi birbiriyle çarpabilirsiniz. Bu şekilde bazı ifadeler sadeleşecek ve x3 y3 değerleri elde edilecektir.
Örnek Sorular ve Çözümleri
Formülleri direk ezberlemek yeterli olmaz. Çünkü bu yapıldığı taktirde kısa süre içerisinde unutma gerçekleşecektir. Bunun için bol soru çözmek gerekir. Kaynak kitaplarda mutlaka karşınıza örnek çok soru çıkacaktır. Burada sadece konuyu pekiştirmek için birkaç örnek yapalım.
Soru 1: x3 + 8 ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali nasıldır?
Çözüm: Bu tür problemleri çözmek için her iki tarafı da küplü yazmak gerekir. 8 2’nin küpü olduğu için 8 yerine 23 yazalım. Bu durumda ifademiz x3 + 23 olur.
Formülü uygularsak da x3 + 23 = (x + 2).(x2 – 2x + 4) olur.
Soru 2: x3 – 27y3 ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözüm: Burada esas nokta 27y3 ifadesinin 3y’nin küpü olduğunu fark etmektir. Yani 27y3 = (3y)3 olur. İfadeyi bu şekilde yazarsak küp toplamı elde ederiz.
x3 – (3y)3 için formülü uygulayalım. x3 – (3y)3 = (x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2) bulunur.
Soru 3: 1 + c3 ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözüm: Burada dikkat etmemiz gereken nokta 1’in aynı zamanda 1’in küpü olduğudur. Yani 1 = 13 eşitliği bulunur. İfadeyi düzenlersek c3 + 13 şeklinde yazabiliriz.
Bu şekilde formülü uygulayalım. c3 + 13 = (c + 1)(c2 – c + 1) bulunur.
Sorularda yukarıda verdiğimiz formülleri kullanın. Daha önce paylaştığımız x2 + y2 açılımını da iyi öğrenin. Bu tür bağıntılar sorularda size yardımcı olacaktır.