x2 + y2 Açılımı

Matematikte çarpanlara ayırma belki de en önemli konudur. Çünkü bu konuyu bilmeden diğer konularda da işlem yapmak oldukça zordur. Bu yazıda çarpanlara ayırmada işimize çok yarayacak x2+y2 açılımı üzerinde durmaya çalışacağız.

Aslına bakarsanız bütün özdeşlikler birbiri ile bağlantılıdır. Tam kare açılımı ya da parantez kare açılımı iyi bilinirse x2+y2 açılımı (iki kare toplamı) daha iyi bilinir.

Bilmemiz gereken en önemli özdeşlikler şöyle sıralanabilir:

  • Tam kare açılımı: (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
  • Tam fark açılımı: (x – y)2 = x2 + y2 – 2xy
  • İki kare toplamı: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = (x – y)2 + 2xy
  • İki kare farkı x2 – y2 = (x – y).(x + y)

Esas dikkat etmeniz gereken şey şudur. İki sayının karesini toplamak ile iki sayının toplamının karesini almak aynı şey değildir. Yani (x + y)2 ≠ x2 + y2 eşit değildir.

x2+y2 Açılımı

x2 + y2 Açılımı Nasıl Elde Edilir?

Bu açılımın nereden geldiğini bilirsek çok daha işimiz kolay olur. Öncelikle tam kare ya da parantez kare alma işlemi çok temel bir özdeşliktir.

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2  şeklindeki bu özdeşlik çok ama çok önemlidir. Burada x2 + y2 kısmını yalnız bırakırsak x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy elde edilebilir.

Eğer işlem farkın parantez karesiyle o zaman da (x – y)2 = x2 – 2xy + y2  şeklinde olur. Yani formülde x2 + y2 kısmı ortaktır. Burada da bunu yalnız bırakırsak x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy elde edilir.

Kısacası x2 + y2 açılımı için ya toplamın parantez karesini alıp 2xy çıkarmak ya da farkın parantez karesini alıp 2xy eklemek gerekir.

Matematikte hiçbir özdeşlik diğerlerinden bağımsız değildir. Hem bunları hem de yukarıda verdiğimiz iki kare farkını bol miktarda kullanmalı ve örnek çözmelisiniz. Bu eşitlikleri hiç düşünmeden kullanabiliyor olmak matematiğinizin gelişmesi açısından çok önemli bir adımdır.

x3 + y3 ve x3 – y3 Açılımı

Küp açılımı da denen bu açılım hakkında detaylı bilgiye şuradan ulaşabilirsiniz. Kısaca biz işimize çok yarayacak bu özdeşliklerin formüllerini verelim:

  • x3 + y3 = (x + y).(x2 – xy + y2)
  • x3 – y3 = (x – y).(x2 + xy + y2)

Bu özdeşlikleri de yine matematikte yaygın olarak kullanmaktayız. Bol örnekle pekiştirmek oldukça yararlı olacaktır.

Son olarak işimize yarar diye küp açılımının parantezli olanlarını da verelim:

  • (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
  • (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

Parantezli kuvvet alma işlemlerini iyi öğrenmek için binom açılımı konusuna çalışmanızda da fayda vardır.

Leave a Comment